APARTADO 3.1
Producto escalar: cuánto coincide una dirección con otra
El producto escalar toma dos vectores y devuelve un número con las unidades correspondientes. Sirve para medir alineamiento, encontrar ángulos y calcular la parte de un vector que apunta a lo largo de una dirección.
A · B = AₓBₓ + AᵧBᵧ + A_zB_z = |A| |B| cos θ
Multiplica componentes del mismo eje y suma. θ es el ángulo entre los vectores, de 0° a 180°.
Si apuntan en el mismo sentido, el coseno es positivo. Si son perpendiculares, vale cero. Si forman un ángulo mayor de 90°, el producto es negativo. Para hallar el ángulo entre vectores no nulos, despeja cos θ = (A·B)/(|A||B|).
Ejemplo explicado
Proyectar una fuerza sobre una dirección
- F = (60,80,0) N y u = (1,0,0). La proyección escalar es F·u = 60 N.
- Ahora u = (3/5,4/5,0), que apunta en la misma dirección de F. F·u = 36 + 64 = 100 N.
- Si u = (−1,0,0), la proyección es −60 N. El signo indica que la fuerza apunta al contrario del sentido elegido para ese eje.
Componente escalar sobre u: F_u = F · u
u debe ser unitario. El resultado es un número con signo.
Proyección vectorial: F_∥ = (F · u) u
Multiplica la componente escalar por la dirección para recuperar un vector.